Логіка  доповняльності Нільса Бора  для фізики елементарних частинок і полів

 

М.  Роженко, академік АН ВШ України

 

Дискусія 1927р. Нільса Бора із запрошеним до Копенгагена Вернером Гейзенбергом започаткувала у квантовій фізиці Копенгагенську інтерпретацію. В дискусії, вислухавши аргументацію В. Гейзенберга на обгрунтування і захист відкритого ним тоді співвідношення невизначеностей, яке з часом одержало назву принципу невизначеностей Гейзенберга, Н.Бор заперечував і трактував це співвідношення в контексті іншого принципу – корпускулярно-хвильового дуалізму, який з теж тодішнім відкриттям дифракції електронів набув універсального статусу. Опоненти не поступалися, і дискусія закінчилася нічим.

Повертаючись подумки до дискусії в наступні після неї дні, Бор підійшов до корпускулярно-хвильового дуалізму з протилежного боку, перейшовши, тим самим, не тільки до доповняльного заперечення ортодоповняльності у співвідношенні Гейзенберга канонічно спряжених фізичних величин p і q у логічному зв'язку „якщо p, то не q, і навпаки”, але й (у повній відповідності з логічним принципом двоїстості!) до доповняльного заперечення самого корпускулярно-хвильового дуалізму у такому самому зв'язку „якщо корпускула, то не хвиля, і навпаки”. У першому випадку таке заперечення логічно забезпечувалось сформульованим на базі проекційної спектральної теореми законом взаємного переходу кількісних і якісних змін операторно спостережуваних фізичних властивостей і величин квантової логіки. У другому те саме давав закон доповняльного розв’язку суперечливої єдності протилежностей корпускулярно-хвильового дуалізму фізики. Таким чином, згідно Копенгагенської інтерпретації, доказово доповняльними виявилися не тільки канонічно спряжені у співвідношенні невизначеностей Гейзенберга фізичні величини (що в повноті опису фізичної реальності визнав А.Ейнштейн), а й корпускулярний та хвильовий дуали в картині цієї реальності.

Більше того, логіка доповняльності, подолавши корпускулярно-хвильовий дуалізм, заявила про себе в повну силу у фізиці елементарних частинок і полів. Ця доповняльність виявилася для фізиків дещо навіть несподіваною. Несподіваною для одних тим, що два перших закони – взаємного переходу кількості і якості та єдності протилежностей явищ і сутностей фізики в термінах філософської тарабарщини, грунтуючись на експериментально підтверджених принципах невизначеностей Гейзенберга та корпускулярно-хвильового дуалізму, ще якось змушено сприймалися. Але третій закон – заперечення детально-повного заперечення логіки доповняльності, як закон розвитку фізики елементарних частинок і полів, додав фізикам ускладнень у сприйнятті філософської діалектики ще й той аргумент, що хвильова функція стану Ψ в квантово-релятивістському синтезі фізики високих енергій перестала бути хвильовою.

Поширення принципу операторної відповідності спостережуваних (нерелятивістської) квантової механіки Шредінгера (1926р.) на релятивістськи інваріантне відносно перетворень Лоренца співвідношення

E2 = c2p2 + m2c4

енергії E = mc2  = рсультрарелятивістських частинок) й імпульсу p = mv, де m = m0/(1– v2/c2)1/2, веде після заміни Е й р в координатному просторі на їхні оператори Е = (іћ y)/t й р = (ћ/і)Ñ, що діють на хвильову функцію Y, до диференціального рівняння Клейна-Гордона-Фока 1926р.

                                     ћ22 2y/t2 =  2D  mc2)y                      (КГФ)

з градієнтом оператора набла Ñ = i /x+ j /y + k /z  й дивергентом градієнта D = Ñ×Ñ – оператором Лапласа  D = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2

Диференціальне рівняння КГФ з 2y/t2 є рівнянням другого порядку за часом, тоді як рівняння Шредінгера наслідує динамічний опис руху матеріальної точки класичної механіки і, виходячи (для кожного моменту часу t) з одночасно визначених координати х й імпульсної швидкості (х)/t,  подає динамічний опис хвильовою функцією y й y/t за часом першого порядку аналогічно до класичного опису.

Рівняння КГФ для переходу від квантової логіки Йогана (Джона) фон Неймана до логіки доповняльності Нільса Бора необхідне. Однак недостатнє. Достатнім (в розв’язку античастинок) стало інше диференціальне рівняння – рівняння Дірака 1928р. з реконструйованою хвильовою функцією вектора стану Y(r, t) в рівнянні Шредінгера так, що, з одного боку, ця  Y узгоджується з функцією Y(p2), яка в КГФ, завдяки p2, вже не хвильова (і не векторна), проте, з іншого боку, зводить рівняння Дірака до першого порядку за часом.

Щоб рівняння КГФ (другого порядку за часом) звести до рівняння першого порядку, функцію y в ньому пропонується подавати сумою двох інших функцій j + c =  y й різницею jc =  iћ/mc2 y/t так, що разом вони утворюють систему диференціальних рівнянь першого порядку

iћ/ j/t = – ћ2/2m D(j + c) + mc2j

iћ c/t = ћ2/2m D(j + c) – mc2c,

яка в матричному поданні співпадає формально з нерелятивістським рівнянням Шредінгера

(iћ/ /t Hf)Y = 0,

де Hf    гамільтоніан у вигляді

Hf  = – (t3 + it2) ћ2/2m D + mc2t3,

а величини Y й tі являють собою матриці

Y = (),  Y+ = (j*, c*),

t1 = (),  t2 = (),  t3 = (),  І = ()

Матриці tі називаються зарядовими матрицями. Вони вдовольняють простим співвідношенням (tk)2 = І, t kt l = tlt k = itm, де k, l, m пробігають в циклічному порядку значення 1, 2, 3. Будь-яка квадратна матриця другого порядку може бути подана у вигляді лінійної комбінації зарядових матриць tі та одиничної матриці І.

Частинка називається істинно нейтральною, якщо вона співпадає із своєю античастинкою. Для істинно нейтральної частинки виконується умова Yс= ± Y або j = ± c*. Це означає, що істинно нейтральні частинки описуються дійсними  хвильовими функціями. Домовились вважати, що плюс відповідає частинці з позитивно-стверджувальною зарядовою парністю, а мінус – із негативно-заперечною зарядовою парністю. Зв’язок плюса з додаванням, а мінуса з відніманням сприяє цьому. Але можна з викликом вважати, навпаки, і це логічною помилкою не буде. Зарядова парність нейтральної частинки визначається у дослідженні її взаємодії з іншими частинками.

Припущення y = j + c й iћ/mc2 y/t = jc в розв’язку рівняння КГФ дало для становлення зарядової парності й формування концепції античастинок чимало цікавого. Але з фізичного погляду рівняння КГФ продовжувало залишалось незадовільним. Функція y в рівнянні КГФ, зважаючи на проблеми позитивної її визначеності й розв’язки з мінусовою енергією, все іще не могла вважатися хвильовою (в розумінні рівняння Шредінгера). Дірак 1928р. вводить в опис релятивістської теорії вільного руху електрона хвильову функцію Y, яка складається з чотирох компонент yі і певним чином змінюється за перетвореннями Лоренца. Ці компоненти об’єднуються в матрицю Y, що має один стовпець (в нашому записі – рядок) спінора Y = (y1:y2:y3:y4) й ермітово спряжений рядок Y+ = (y1*, y2*, y3*, y4*). Спінорна функція Y  вдовольняє диференціальному рівнянню Дірака (1928р.) для електрона, що вільно рухається,

((i ћ/с) /t + iћaÑmcb)Y  = 0,

де m – маса електрона, ћ – перекреслена (Діраком) постійна Планка, t – час,

с – швидкість світла, і – уявна одиниця, Ñ – оператор набла, a = (a1, a2, a3) й

b – чотири ермітових матриці з властивостями (ak)2 = 1, a k a l = a l a k  = 0 (k ¹ l), b2 = 1, akb + bak = 0.

Матриці a і b в поданні Дірака враховують в a спінові матриці sіsі Паулі (1927р.) електрона, а в матриці b  одиничні двомірні матриці І:

 

αі = (),  і = 1, 2, 3, ,  β = ()

 

σ1 = (),  σ2 = (),  σ3 = (),  І = ()

 

Для квантової логіки в двоїстій іпостасі еквівалентних дискретно-матричної Гейзенберга й неперервно-хвильової Шредінгера (нерелятивістської) квантової механіки фон Нейман запропонував проекційний постулат логічної структури підпросторів комплексного сепарабельного гільбертового простору. Підпросторами визначаються проектори спостережуваних властивостей фізичної системи. Аналогічно операторами описуються спостережувані величини релятивістськи інваріантного рівняння для вільного електрона. Правда, Гільбертів простір стає в даному разі узагадьнено оснащеним, і логічна чистота його підпросторів затьмарується. Хвильова функція Ψ в рівнянні Дірака перестає бути хвильовою й, отже, опис її – корпускулярно-хвильовим. Зате на передній план випливає інша, не менш важлива, ніж доповняльність канонічно спряжених спостережуваних та корпускулярно-хвильових уявлень, заперечна доповнільність речовини і поля, елементарних частинок і їхніх античастинок.

Логіко-математичний принцип двоїстості має в сучасній математичній логіці (Чьорч, 1956р.) чітке формулювання: Якщо є певна теорема і є її дуал (чи еквівалентне дуалові детально-повне заперечення теореми), то заперечення цього дуала дає знову теорему – нову, якщо теорема неелементарна, і ту саму теорему у її звичайному формально-логічному запереченні заперечення, якщо вона елементарна. Скажімо, двоїстість елементарного a означає Ø a та Ø Ø a = a – те саме a, тоді як дуал Ø(ØaÙØb) = (aÚb) в перетворенні (ØaÙØb) = Ø (aÚb) дає закон де Моргана.

Як сто років тому неподільний „атом” став подільним, так тепер елементарні частинки стали неелементарними, складеними із „кварків”. Тоді стояло питання про існування атомів, а тепер – про їх спостережуваність.

Щоб загострити питання, візьмемо елементарні частиники і їх кваркову будову. Існує шість типів кварків – протонний u, нейтронний d, дивний s, чарівний c, прекрасний b, істинний t і стільки ж антикварків Ø u, Ø d, Ø s, Ø c, Ø b, Ø t. Спільним для кварків й антикварків залишається лише спін. Всі інші характеристики міняють свої знаки на протилежні.

З кварків складаються сильновзаємодіючі адрони – баріони і мезони. До класу баріонів відносяться нуклони – протон p і нейтрон n та група гіперонів L, S±, S0, X0, X-, W-  й (Lc)+ . Всі баріони мають ферміонний спін J = ½. До класу мезонів входять нестабільні частинки, що беруть участь в сильних і слабких взаємодіях. Це піони p± й p0, мезон h, дивні каони K±, K0 й ØK0, чарівні мезони D±, D0, ØD0 й (Ds)± та прекрасні мезони B±, B0 й ØB0. Всі вони є бозонами із спіном J = 0.

Три кольори для кварка обираються такими, щоб в суміші давати безбарвний, білий колір. Обираються за домовленістю, зокрема, червоний r (від англ. red), жовтий y (від англ. yellow) і фіолетовий v (від англ. violet) кольори. Постулюється, що адрони – безбарвні об’єкти, баріони в якому – кожен в складі трьох кольорових кварків, що в суміші дають білий колір, і мезони – кожен в складі двох кольорово доповняльних кварків – кварка й антикварка. Останній, доповнюючи (до білого) кольорові стани y, v, r кварка кольоровими станами Øy, Øv, Ør, називається антикольором. Суміш кварка і його антикварка являє собою безбарвну частинку – мезон. Кольорові частинки оголошуються, таким чином, принципово неспостережуваними, а побудовані з них білі – спостережуваними.

Про діаграмну техніку Р.Фейнмана Н.Бор сказав, що це не фізика. Це, справді, не фізика, а логіка квантового комп'ютера Фейнмана. І те, що сказав Н.Бор про свою доповняльність: „В той час в нас було заведено ділити всі істини на дві категорії. Істину, протилежна від якої явно безглузда, ми назвали „тривіальною”. Це була дріб'язкова, нецікава істина. А ось істині, настільки глибокій, що протилежна від неї теж являється чи, по крайній мірі, видається такою ж глибокою, ми дали назву „спіритуальної” (1961р., с. 78)  – теж не фізика, а логіка доповняльності, реалізована, зокрема, в фізиці елементарних частинок і полів.

 

 

 

Використана література

 

Бор Н. Избранные научные труды. – М., 1971. – Т. 2, с. 180-191, с. 413; Квантовый постулат и новое развитие атомистики (доповідь на конференції в Комо, Італія, 1927р.) //Успехи физ. наук, 1928, 8:3, 306-337; Проблема причинности в атомной физике (доповідь на конференції в Варшаві, 1938р.) //Успехи физ. наук, 1985, 147:2, 343-357: Див. також : Наука и жизнь, 1961, №8, с.78

 Роженко М. М. До принципів і законів квантової логіки //Наукові записки Академії наук ВШ України. – 2007. – Т  ІІ. С. 109-117. Див. також статті академіків в http:www.anvsu.org.ua.

Фейнман Р. Теория фундаментальных процессов (1961). – М., 1978

Черч А.Введение в математическую логику. І (1956). – М., 1960. – С. 101