ДО 75-ЛІТТЯ ПРОЕКЦІЙНОГО ПОСТУЛАТА КВАНТОВОЇ ЛОГІКИ

 

М.М.Роженко, академік АН ВШ України

 

Проекція проекції дорівнює проекції

QQ = Q,

звідки випливає Q1  = 1так” й Q2  = 0 – „ні” для проекційного постулата:

проекційні оператори як висловлювання,

викладеного в окремому параграфі монографії Й. фон Неймана „Математичні основи квантової механіки” (Берлін, 1932, с.130-135: Projektionsoperatoren als Aussagen; Москва, 1964, 184-189: Проекционные операторы как высказывания).

Основні риси Р1 – Р8 (в кн. фон Неймана вони позначені першими літерами a) – h) грецької абетки) проекційного постулата, висновуючи зв'язок між фізичними  властивостями (далі скорочено: властивостями) Q, їх проекційними операторами Q і замкненими в гільбертовому просторі Н лінійними многовидами М Í Н цих операторів, підсумовуються на закінчення в названому параграфі ще раз:

Р1. Імовірності r того, що властивість Q має чи не має місця в стані y, дорівнюють r = (Qy, y) = ||Qy||2 = ||Рrмy ||2 або r = ((1– Q)y, y) = ||(1– Q)y ||2 = ||yРrмy||2. Якщо y дається в суміші, яка опису­ється статистичним оператором U = S кrкQy  (скорочено: статоператором U) кожного yк зі статистичним слідом Сл. U = S кrк , то ймовірності того, що влас­тивість Q має місце або ж не має місця, дорівнюють відповідно слідам Сл. (UQ) або Сл. (U(1– Q)). Зрозуміло, що сумішні ймовірності не більші за "чисті". Якщо Q = 1, то UQ £ 1 й U(1– Q) ³ 0, і навпаки. Зв’язки £ й ³ та 1 й 1– Q в цьому відношенні двоїсто-доповняльні. Так нормальний статоператор U=1 розв’язує квантово-логічний парадокс Q=Q2  проекційного постулата, який дозволяє одночасні так і ні висловлювання.

Р2. Q з достовірністю має або не має місця в станах y, що на­лежать М або Н – М відповідно, і лише в цих станах.

Р3. Для одночасної розв'язуваності декількох властивостей Q, Р, ... перестановність їх операторів Q, Р, ... є характерною.

Р4. Якщо Q, М належать властивості Q, то 1 Q , Н М належать властивості "не-Q".

Р5. Якщо Q, М належать властивості Q, а Р, N – властивості Р, і якщо Q  і Р одночасно розв'язувані, то QP і спільна частина М, N належать властивості "Q і Р", а Q + Р QP  і {М,М}, як [М,М], належать властивості "Q або Р".

Р6. Q завжди має місце, якщо Q = 1, або ж, якщо М = Н, і ніколи не має місця, якщо Q = 0, або ж, якщо М = (0).

Р7. Q, Р несумісні, якщо QP = 0 або, також, якщо все М ортого­нальне до всього N.

Р8. Нехай фізичній величині В відповідає оператор В і нехай І – деякий інтервал. Нехай Q(І) – розклад одиниці, що належить В, інтервал І={I12} (I1£І2) й розклад одиниці Q(I) = Q(I2) – Q(I1). Тоді оператор Q (I) належить фізичній властивостілежить в І"

Таким чином, початком квантової логіки є не 1936рік, як це вважається загальновизнаним, а 1932-й рік. Саме тоді –  75 років тому  побачила світ монографія "Математичні основи квантової механіки" з проекційним постулатом і характерними для нього рисами Р1 – ймовірності, Р2 – достовірності, Р3 – одночасної розв’язуваності, Р4 – заперечення не-Q = ØQ, Р5 – кон’юнкції Q та Р = Q Ù Р = QР й диз’юнкції Q або Р = Q Ú Р = Q + Р QP, Р6 – модального посилення достовірності Q в необхідності ¢Q за умови Q = 1QM = H й неможливості ظQ в посиленій неможливості  ØtQ за умови Q = 0Qy = 0, Р7ортодоповняльної несумісності Q Ù Р = 0 = Q^Р, Р8 розкладу одиниці

q = åkqkQk + dQ(l).

Переліком Р1 – Р8 квантова логіка проекційного постулату не вичерпується. До Р1 – Р8 Г.Біркгоф та Й. фон Нейман додали в надрукованій 1936р. статті  „Логіка квантової механіки” припущення –

Р9. Якщо Q £ P, то Q Ú (X Ù P) = (Q Ú X) Ù P – закон модулярності Дедекінда.

Припускаються ще три закони. З огляду на Р5 пропонується долучити з класичної до розгляду квантової логіки –

Р10. Q £ (X£ P) = (Q Ù X) £ P – закон введення (імпортації) і, читаючи наведену формулу в зворотному порядку, також закон виведення (експортації) кон’юнкції.

Так само, з огляду на Р3, пропонується припускати не тільки вирішальну роль в квантовій теорії і її логіці комутатора [Q, P] º QP PQ, а й певну роль при цьому антикомутатора {Q, P} º QP + PQ. Досліджуючи, на пораду Й. фон Неймана, останнє, П.Йордан прийшов до тотожності, названої тепер його іменем –

Р11. (Q1)2 (Q1, Q2) = Q1 ((Q1)2, Q2) – тотожність Йордана, що лежить в основі досить інтенсивно досліджуваної в сучасній математиці і логіці безвідносно, правда, до квантової логіки йорданової алгебри. Автор йорданової тотожності й алгебри, однак, був одним з фундаторів квантової механіки й вважав, що розвиває свої дослідження в рамках квантової логіки. Антикомутатор дозволяє бути ідемпотентною й, отже, квантовологічною, принаймні одній з двох спостережуваних Q1 = (Q1)2.

Комутатор, ставлячись поблажливо в модулярному законі до асоціативності, порушує логічну дистрибутивність. Антикомутатор, навпаки, порушує логічну асоціативність. Про це в „потоці гетінгенської вченості” в тому ж таки 1972р. засвідчив П.Йордан в ст. „Про один клас неасоціативних гіперкомплексних чисел” (Nachr. Ges. Wiss. Göt., 1932, H.5, S.569-576)

Комутатор різниці комутуючих спостережуваних й антикомутатор їхньої суми синтезуються в тотожності –

Р12. [[Q1, Q2], Q3] + [[Q2, Q3], Q1] + [[Q3, Q1], Q2] = 0 – тотожність Якобі з (квантовими) дужками Пуасона

[Q1, Q2] = Q1Q2 Q2Q1  [Q2, Q3] = Q2Q3 Q3Q2 [Q3, Q1] = Q3Q1 Q1Q3 алгебри Лі класичної і сучасної некласичної фізичної теорії

Квантова логіка проекційного постулата в рамках Р1–Р8 математичних основ квантової механіки виявилась найбільш адекватною для цих основ математичною логікою нерелятивістської квантової механіки, в якій на той час – друга половина 20-х рр. ХХ ст. – синтезувалися дискретно-матрична механіка В.Гейзенберга з її „початком принципової спостережуваності” й хвильова механіка Е.Шредінгера з її прямо протилежним початком принципової неспостережуваності. Прямої суперечності тут, однак, не виникає, бо спостережуваність в першому випадку відноситься до спостережуваних величин, а неспостережуваність в іншому разі – до  (неспостережуваних) станів, в яких величини спостерігаються. Суперечність тут не пряма, а двоїста, і розвязується, згідно з принципом двоїстості, в доповняльному запереченні.

Суперечність у формальній логіці розв’язується, як відомо, рознесенням протилежностей в часі, просторі та за різним відношенням Те ж саме стверджується, з врахуванням специфіки Р1–Р8, у квантовій логіці щодо одночасності в Р3, ортодоповняльності в Р7  й за співвідношенням невизначеностей Гейзенберга в Р5 для доповняльних спостережуваних. Завжди хибну кон’юнкцію ортодоповняльних станів двоїсто доповнює завжди істинна диз’юнкція парадоповняльних станів так, що для доповняльності залишається модальний інтервал можливих істиносних значень 0 £ r £ 1.

З основних рис Р9–Р12 найбільшу увагу дослідників квантової логіки викликав Р9 – закон модулярності, надрукований 1936р. у згаданій вище ст. „Логіка квантової механіки” Г.Біркгофа та Й. фон Неймана. Біркгоф згадує, цитуючи листа фон Неймана від 1935р., про сумніви його співавтора в гільбертовому просторі, структура підпросторів якого моделює квантову логіку.

Закон модулярності, введений в логіку (будь-яку, не тільки квантову), обмежує, порушуючи, дистрибутивний закон логіки. Коротке, на півсторінки, математичне доведення цього порушення фон Нейман подав крейдою на дошці у досі маловідомій (через початок Другої Світової війни) доповіді „Приховані параметри і логіка квантової механіки” на представницькій конференції у Варшаві 1938р. (див. с.30-38 й дискус. на с.44 у кн. „New theories in physic”. – Paris, 1939. – 250p.). Приховані параметри заполонили тоді фізичну літературу і голови фізиків у звязку з поставленою Ейнштейном, Подольським і Розеном (EPR) проблемою повноти квантово-механічного опису фізичної реальності.

Фон Нейман поставив у Варшаві проблему повноти в логічному аспекті, і Нільс Бор, давши перед цим доповняльну відповідь Ейнштейну, зауважив в обговоренні доповіді фон Неймана також логічний аспект доповняльності. У звичному для нього стилі Бор відзначив майстерну переконливість математичного доведення фон Нейманом порушення логічного закону дистрибутивності. Це також доводиться – додав він – логічно ще стисліше, виходячи з принципу доповняльності, за яким – додамо від себе – логічна дистрибутивність відповідає двоїстому запереченню консеквента модулярності.