ДО ПРИНЦИПІВ І ЗАКОНІВ КВАНТОВОЇ ЛОГІКИ

(Повідомлено 19 лютого 2005 року на ІІ щорічних Академічних читаннях пам’яті президента АН ВШ України академіка В.І.Стріхи)

 

М.М.Роженко, академік АН ВШ України

 

Анотація. Квантова логіка є розділом сучасної некласичної математичної логіки для пропозиціональної структури спостережуваних (фізичних влас­тивостей P, Q,… і величин p, q,…) у квантово-механічних станах Y фізичної системи S. Подаються принципи проекторної відповідності Q–Q–Y, двоїстості pD та закони квантової логіки L1-L3, L^, Lr, OML.

 

Квантова логіка, як розділ сучасної некласичної математичної логіки, характеризується зумовленими квантовою фізикою принципами і законами.

Принцип операторної відповідності Q–Q–Y (або QQY) спостережуваних в квантово-механічних станах фізичної системи фізичних властивостей та величин, скорочено: спостережуваних, відповідним операторам, які функціонально визначаються в термінах абстрактно-математичних станів системи і зображають спостережувані ефекти. Цей квантово-теоретичний принцип стає квантовологічним, як тільки здійснюється перехід від операторів спостережуваних величин p, q ,… й операторів проекції спостережуваних властивостей P, Q,…, зокрема оператора проекції Qi в індивідуальних станах yі до проекційного оператора (скорочено: проектора) спостережуваної властивості Q в суперпозиційних квантово-механічних станах Y=y1+y2+...+yі+... фізичної системи S, як замкненого лінійного многовиду – підпростору MÍH гільбертового простору H.

Проектор Q, визначаючись на многовиді M, репрезентує (подає, зображає, описує) фізичну властивість Q і, тим самим, квантовологічне висловлювання QQ=Q з розв’язком Q = 1, що стверджує цю властивість. Справді, з ідемпотентності проектора QQ = Q, як виразника того, що проекція проекції рівнозначить проекції, випливає Q(1-Q)=0 з двома розв’язками Q1=1 для „так” та Q2=0 для „ні”. Отже, QQ=Q стверджує, тоді як (1-Q)Q=Q заперечує властивість Q в MÍH. Доповняльно-заперечна зв’язка для не-Q=ØQ одержала, у такий спосіб, в (1-Q) важливіший для алгебри квантової логіки проекторний відповідник: ØQ відповідає проектор (1-Q) з доповняльного в просторі H многовиду H-MÍH.

Проекторний відповідник Q є у квантовій логіці своєрідним ключем для відповіді на питання оманливої легкості і не менш оманливої нездоланності труднощів у реалізації гільбертової програми логізації аксіоматично побудованої „логіки природознавства”.

Ускладнення виникають вже при проекторній репрезентації бінарних логічних зв’язок, зокрема, кон’юнктивної зв’язки фізичних властивостей QÙP, які переставні QÙP=PÙQ завжди, тоді як операторний відповідник QP, комутуючи лише в часткових випадках, вдовольняє комутативності логічного добутку QÙP не завжди, бо, взагалі, QP¹PQ. Квантова логіка починає тут суперечити з логікою класичною. Розв’язується ця суперечність двох логік запропонованою М.Борном (МВ) і його учнями ймовірнісно-статистичною інтерпретацією символу стану y, як хвильової функції і вектора, модульний квадрат якого в скалярному (внутрішньому) добутку проекції стану на стан дає ймовірність для квантовологічного висловлювання

                                  r = (Qy,y) = ||Qy||2

щодо спостережуваної та                                                                           (МВ)

                            r = (1-Q)y,y)) = ||(1–Q)y||2

щодо ортодоповняльної спостережуваної – фізичної властивості в тому ж таки стані вектора і хвильової функції y. Зважаючи на принцип суперпозиції

                                                Y=ånyn,                                              (рS)

в ||ånyn||2 додається для r(Q) некласична інтерференція ймовірностей.

З принципу відповідності випливає, що квантова логіка є проекторно зумовленою онтологікою фізичних властивостей і, водночас, ортологікою пропозиціональної структури щодо цих властивостей, відрізняючись від класичної логіки так, як відрізняється від класичної математичної теорії множин логіко-структурна теорія чумин (poset) –  частково упорядкованих множин, замкнених лінійних многовидів, підпросторів гільбертового простору.

Принцип двоїстості в математиці ідеального і „земного” йде від Піфагора та Евкліда до субстанціального дуалізму Декарта та принципу двоїстості Понселе-Жергона в проективній геометрії, де виведення нових теорем із вже відомих шляхом ефективно-простої заміни істотних зв’язків у відомих теоремах на двоїсті їм здійснюється, за традицією, не геометрично і навіть не математично, а логіко-математично. В математичній логіці принцип двоїстості подається (див. А.Черч, 1956/60, с.101) так:

Якщо А – теорема й А – оператор дуалізації такий, що АА = B, де B=D(A) – дуал теореми А, то заперечення дуалу ØВ = С – теж теорема           (pD)

Окремо подаються (див. там само) принципи двоїстості для еквівалентності

          Якщо А = В – теорема, то D(А) = D(В) – теж теорема       (pD=)

та імплікації

          Якщо А Í В – теорема, то D(В) Í D(А) – теж теорема      (pDÍ)

Математика законів не вивчає. Математики мають справу з рівняннями, формулами і теоремами. Квантова логіка, як розділ математики, про закони теж нічого не каже. Але в ній, як логіці, питання про закони, подібні до законів формальної і діалектичної логіки чи фізики, можуть, звичайно, розглядатися.  Далі в якості законів подаються деякі з важливіших квантово-логічних теорем, що вдовольняють принципові двоїстості pD.

Перша з цих теорем – проекційна спектральна теорема розкладу одиниці (єдності, единицы, unité, Einheit, unity)

                                       q = åk qkQk  +dQ(l),                            (L1)

де q – оператор фізичної величини q з її власними значеннями qk  й функціями

Qk від елементарної фізичної властивості Qk дискретного спектру та неперервно-диференціальної функції Q(l) суцільного спектру як міри і синтезу фізичних властивостей (якості) та величин (кількості) відповідно. З цього випливає, що спектральний розклад одиниці L1 є не що інше, як закон взаємного переходу кількісних і якісних змін спостережуваних у квантово-механічних станах фізичної системи фізичних влас­тивостей і величин, коротше - закон взаємного переходу кількісних і якісних змін. Фізична властивість, вимірюючись, подається фізично спектром всіх своїх величин. Прин­цип міри об’єднує тут якість (фізичні властивості Q) і кількість (фізичні величини q). Таким чином, спектральна теорема розкладу одиниці виступає в L1 як принцип міри спостережуваних  і закон взаємного переходу кількісних і якісних змін q–фізичних величин і Q–фізичних властивостей.

Вичерпавшись у кількісному розкладі, якість Q, за принципом двоїстості pD, дуалізується і в запереченні ØQ = P переходить до нової якості P, що має свій розклад одиниці

                                             p = ål plPl +dP(m)                           D(L1)       

Поява двох якостей Q і P веде до вищезгаданої проблеми проекторної некомутативності QP¹PQ і її ймовірнісно-статистичного розв’язку, що ускладнюється, заплутуючись, розкладом проекторних одиниць, в яких беруть участь оператори величин q і p. Для двох таких операторів qp ¹ pq за умови qp-pq @ ik, де q, p – оператори канонічно спряжених (у класичній механіці) узагальнених фізичних величин координати q й імпульсу p = mv та ік – ортогоналізований уявним числом коефіцієнт пропорціональності „к”, в теорії операторів ви­водиться співвідношення DqDp³ к, в якому, за k=h,  неважко бачити принцип невизначеностей В.Гейзенберга

                                                   DхDр ³h,                                         (WH)

узагальнюючи який, Н. Бор запропонував розглядати невизначеності Dх і Dр, за принципом доповняльності (NB), доповняльно.

До появи співвідношення невизначеностей Гейзенберга (1927р.) Нільс Бор стояв на позиціях експериментально підтвердженої на той час концепції корпускулярно-хвильового дуалізму фотонів світла А.Ейнштейна (1905р.), поширеного Л. де-Бройлем (1924р.) на хвильові характеристики речовини. Виснажлива дискусія Н.Бора із запрошеним до Копенгагена В. Гейзенбергом, в якій кожен, мотивуючи фізично й обґрунтовуючи теоретично, відстоював свою позицію, скінчилася безрезультатно. В.Гейзенберг доводив теоретичну безперечність фізичної істини, що випливає з його співвідношення WH і має бути, відтак і є в º-тотожній (але не в Ù-кон’юнктивній) єдності істиною логічною. Справді, з WH випливає: Якщо q, то не-p (qÍØp з матрицею <0111>) і якщо p, то не-q (pÍØq з <0111>), qÍØp = pÍØq з матрицею істинності <1111> і qÍØp Ù pÍØq з <0111> матриці антикон’юнкції – штриха Шеффера.

З принципу WH одержується також двоїста форма: Якщо не-q, то p, і якщо не-p, то q з <1110> диз’юнкції й <1111> еквівалентності (Øq£p)=(Øp£q).

Після того, як DqDp³h пройшло подумкові експерименти і набуло визнання експериментального закону фізики, теоретики вивели його з

                                    (Q P  P Q) ÞDqDp ³h.

Звідси для постульованої Ландау і Ліфшицем (1963, с.15-16) умови часткового випадку комутації операторів одержується розв’язок

             ((QP = PQ) £ (QP  PQ)) = (0 = (QP = PQ)) =  (P^Q)

Сказане веде до закону ортодоповняльності, якщо WH випливає (випливає!) з qp ¹ pq і з WH випливає (випливає!) ортодоповняльне q^p=p^q. Справді, з WH випливає (qÍØp) = ((q ÙØp)= q)= ((q (1-p)= q)= (qp=0)= q^p. Те ж саме p^q=q^p випливає з pÍØq. Отже,

                                      Якщо DqDр ³ h, то q^p                                     L^

– закон ортодоповняльності (з qÙp =<0000> навіть за q=1 й p=1!).

Згідно pD, ортодоповняльне qÙp, як <0000>-дуал, заперечується теоремно штрихом Шеффера Ø(qÙp) = <1111> відразу або, коректніше, йдучи від теореми парадоповняльного L// = D(L^) до L^, щоб в синтезі орто L^ й пара L// зняти їх  в доповняльному запереченні ØL^. За pD, L// й ØL^ в обох випадках –  теореми.

Нулефікована таблиця істинності <0000> в принципі двоїстості pD свідчить про теоремний статус дуала D(qÙp) = qÚp. Щоб пересвідчитися в цьому, беремо WH у двоїстій формі: Якщо не-q, то p, і якщо не-p, то q. Формалізоване (ØqÍp) = ((ØqÙp) = Øq) = (((1-q)p) = (1-q)) = ((p+q-qp) = 1) і  (ØpÍq) = ((ØpÚq) = q) = (((1-p)Úq) = q) = ((1-p)+q-(1-p)q = q) = (1-p-q+pq = 0), з чого випливає pq = qp та, у випадку p^q, теоремно повне p+q = 1 для дуалів p і q, які в p = Øq і q = Øp доповнюють один одного.

Н. Бор відстоював фізичний дуалізм за ортодоповняльним різновидом принципу двоїстості для еквівалентності: Якщо не-(q = p) –  істина, то (q ¹ p) – теж істина, і навпаки, якщо не-(q ¹ p), то (q = p). Синтетично теоремне об’єднання відповідних дуалів в обох вже названих вище формах º- тотожньої та Ù-кон’юнктивної єдності дуалів (Q ¹ P) й (Q = P) та дуалів ØQ £ P й Q £ Ø P дає тавтологію  (Q ¹ P) = ((ØQ £ P) Ù (Q £ Ø P)) й доповняльну їй таку саму тавтологію  (Q = P) = Ø((ØQ £ P) Ù (Q £ Ø P). На цій основі Нільсу Бору через тиждень після дискусії з Вернером Гейзенбергом вдалося об’єднати у принципі доповняльності якісно відмінні між собою двоїсті властивості корпускулярно-хвильового дуалізму та  взаємну невизначеність у (WH) канонічно-спряжених спостережуваних Q і P, яких охоплює

         Ø(((Q ¹ P) Ù (Q = P)) = (((ØQ £ P) Ù (Q £ Ø P)) = (Q ¹ P))    (NB)

– (1111)-істинний принцип доповняльності (NB) й не менш (1111)-істинний в

(NB) = (L2)

закон доповняльного розв’язку як Ù -, так º - єдності дуальних протилежностей корпускулярно-хвильового дуалізму і канонічно спряжених спостережуваних фізичної системи та картини світу або, коротше, закон доповняльного розв’язку єдності протилежностей у сучасній фізиці

          ((Q ¹ P) Ù (Q = P)) = (((ØQ £ P) = (Q  £ Ø P)) Ù (Q = P))       (L2)

Далі закон заперечення детально-повного заперечення або, коротше, закон заперечення заперечення правильно побудованих формул логіки проголошує: Якщо є правильно побудована формула (ППФ) логіки, то

                                      ППФ =  Ø D(ППФ),                                      (L3)

де D(ППФ) –  еквівалентний детально-повному запереченню дуал (ППФ).

Ілюструє закон заперечення перехід від булевої алгебри класичної логіки до небулевої алгебри та теорії граткових структур логіки квантової. Так, чумина спостережуваних, в силу (a £ b) = (аÙb = a) та (a £ b) = (aÚb = b), одержує теоретико-граткове продовження. Те, що дає у цьому продовженні для розуміння булевої алгебри класичної і небулевої алгебри квантової логіки гратка (лат. structura, англ. lattice, фр. treillis, нім. Verband, рос. решётка), доводить граткове зведення булевої алгебри класичної логіки до дистрибутивної з доповненнями гратки й недистрибутивної з ортодоповненнями гратки  небулевої алгебри логіки квантової.

Візьмемо для ще одного прикладу кон’юнкцію q Ù p, яка в класичній механіці характеризує координату й імпульс. Її дуалом є, як відомо, диз’юнкція  q Ú p, еквівалентна детально-повному запереченню Ø (Ø q Ù Øp) = (q Ú p). Заперечення останньої веде до аналітичної істини формально-логічного закону де Моргана (Ø q Ù Øp) = Ø (q Ú p) й синтетичної істини логічної зв’язки штриха Шеффера Ø (q Ù p) =  q // p, що в співвідношенні В.Гейзенберга (WH) квантової механіки заперечує атрибутивну одночасність  q Ù p матеріальної точки механіки класичної. У такий спосіб двоїстого заперечення детально-повного заперечення формально перетворюється не тільки будь-яка аналітично завжди істинна теорема, але й будь-яка істина синтетична. Але повернемося до законів.

Для чисто квантових станів маємо структурний закон квантово-логічних модальностей

[r(Q)y = (Qy,y)]£ [(r(QyєМ) = 1) = ((□)QQM =

                  = (Øà)1–Q(ØQH-M))] £ [(((r(QH) = 1) = ◘QH) = بQ(0))]      (Lr)

 

– ймовірність r(Q)y в окремому стані y, на який діє індивідуальний оператор проектування Qі, достовірність Q в суперпозиційному многовиді станів yєMÍH, на який діє вже не індивідуальний оператор проектування Qі, а проекційний оператор Q так, що проектор 1- Q з H-M достовірно забезпечує доповняльну спостережувану Ø Q, і Ø Ø Q = Q. Для всього гільбертового простору H достовірне існування в кожній точці H тривіальної спостережуваної посилюється і стає, у такий спосіб, необхідним. Модально-логічний оператор достовірності □=1 засвідчує своїм “провалом” у формулах істинність □Q = Q й □ØQ = ØQ, тоді як модальний оператор логічної необхідності ◘=1 посилює істинність так, що ◘QH = بQ(0) – виключає, як неможливе, доповнення QH. Нульовий елемент Q(0) виключається умовою нормування із скрізь щільного гільбертового простору H так само, як нульовий стан з квантових станів y. 

Коли квантовий стан береться й розглядається з певною (класичною!) ймовірністю 0 £ r(y) £1, тоді до чисто квантової ймовірності

                                         r(Q) y = (Qy,y)                                        (МВ)

приєднується статистичний оператор (скорочено: статоператор) U=SкrкQyк, який перетворює чисто квантовий стан на змішану (зі слідом Sp.U = Sкrк від нім. Spur - слід) в суміші r(Q)r(y) = (Sp.UQy,y) та r(Ø Q)r(y)=(Sp.U(1- Q)y,y) класичної й квантової ймовірностей. При цьому ймовірності вирізняються абсолютно й відносно. Якщо статоператор U £ 1 – нормальний чи U < ¥ –  нормований, то ймовірність є абсолютною, а за U = ¥ - відносною. Так, за повної невизначеності місця знаходження мікрооб’єкта в певному (евклідовому) просторі, відносна ймовірність знаходження мікрооб’єкта у вдвічі більшому обсязі того простору буде вдвічі більшою.

Нарешті, ще один з основних законів квантової логіки

                                     [Q £ P] Þ [Q Ú (Q^Ù P)]                             (OML)

– ортомодулярний.

До цього закону квантова логіка йшла від модулярного закону (Modulargesetz) Дедекінда:

                              Якщо QÍP, то QÚ(XÙP) = (QÚX)ÙP,                  (LD)

запропонованого Біркгофом й фон Нейманом (1936р.) для логіки квантової механіки, до погодженого із законом дистрибутивності закону OML Сасакі (1954р.). Йшла досить довго і ще довше освоювала й осмислювала його в якості закону, проекції й імплікації чи стрілки Сасакі, про які мова далі.

Вважається, що всі, відмінні від класичної, логіки посилювати останньої не в змозі, бо можуть її лише послаблювати. Так інтуїціоністська й багатозначна логіки порушують (не визнають) закону виключеного третого. Квантова ж логіка порушує виконання дистрибутивного закону.

Як при цьому порушується закон дистрибутивності, доводить нескладне визначення і перетворення на інтервалі спостережуваних Q £ P такого. Нехай Q і P – сумісні фізичні властивості із змінною Х такою, що Q£X£P. Щоб Х була фі­зич­ною властивістю, в квантовій логіці зобов’язаний бути проектор, що вдовольняє принципові відповідності Q – Q – y та модульному інтервалові станів ||MÍN||, як дуал Q £ P, на якому визначається і будуєть­ся асоціа­тивно лише двома можливими способами

                      XÚÙ: X = Q Ú (X Ù P), XÙÚ: X = (Q Ú X) Ù P

Неважко бачити, що за умови Q£P проекторно XÚÙ £ XÙÚ, і тому для Q£P мінімаксно одержується проек­торна структура

                                (P Ù X) Ú Q £ P Ù (X Ú Q)                                (Пр.)

Mutatis mutandis, з врахуванням двоїстості, сказане відноситься також до Q ³ X ³ P, даючи із застосуванням мінімаксу

                                      sÚn  iÙm  dij £ iÙm  sÚn  dij                                  (mM)

той самий результат.   

Структура (Пр.) є для Q£P недистрибутивною. Справді, дозволяючи в (Пр.) дистрибутивність, одержуємо для дистрибутивного закону відносно диз’юнкції

                 (Q Ú (X Ù P) = (Q Ú X) Ù (Q Ú P)) £ (Q Ú X) Ù P

та для дистрибутивного закону відносно кон’юнкції

                 ((QÚ X) Ù P = (Q Ù X) Ú  (Q Ù P)) £ Q Ú (X Ù P),

що в обох випадках означає те саме – самодвоїстий закон дистрибутивності

                                    (Q Ú X) Ù P £ Q Ú (X Ù P)                             (Д)

Порівнюючи (Д) і (Пр.), бачимо їхню відміну. ”Консеквент” в (Пр.) є “антецедентом” в (Д), і навпаки.

Керуючись “основним положенням” Н. Бора про неминучість людських уявлень з мак­ро­світу для розуміння та логічного пізнання явищ мікросвіту, беремо вдовольняючий у перетині (Д) і (Пр.) моду­лярний закон

                            Якщо Q £ P, то Q Ú (ХÙ P) =  (Q Ú Х) Ù P           (M)          

З доповняльними фізичними властивостями модулярна структура стає модулярною з орто­доповненнями, ортодоповняльною. Справді, з переходом від Х до не-Х структура Q£ØX£P стає у (Q£ØX)£P ортодоповняльною відносно Q, а в Q £(ØX£ P) – дуальним запереченням ортодоповнення відносно P.

За умови Q £ P й збігу X^ із Q заміною X на Q^ в консеквенті (М) маємо

                                              P = Q Ú (Q^ Ù P)                                 (w^M)

– слабку (орто)модулярність, яка з врахуванням Q=QÙP свого кондиціоналу Q£P набирає дистрибутив­ного вигляду

                                               Р = (QÙP)Ú( Q^ÙP)                              Q«P

– більш сильної, ніж Q£P, сумісності Q«P.

Аналогічно для двоїстого P£Q заміна X на P^ дає

                                             Q = (QÙP)Ú (QÙ P^)                               P«Q

– більш сильну, ніж в Р£Q, ту саму сумісність Q«P.

Ще одна різновидність сумісності чи, скоріш, співрозмірності випливає для існування в ортодоповняльній структурі трьох взаємно ортогональних спостережу­ваних Q1, P1 й R. Якщо це так, то

                                           Q = Q1Ú R й P=P1Ú R.

Із сумісністю Q«P тісно пов’язана сумірність QÛP, що випливає із тієї самої слабкої орто­моду­лярності для Q = P як ортомодулярності

                                          QÚ (Q^ÙP) = PÚ (P^ÙQ)                            QÛP

Тісний зв’язок сумісності і сумірності не заважає бути їм відмінними, несумірними. Сумісність дозволяє вищезазначену дистрибутивність, сумірність – ні, бо для Q£ P і P £ Q  їхні дистрибутив­ності від­мінні. Саме це у формах

                                                 Якщо P £ Q, то P Ú (P^Ù Q)

і двоїстого Q £ P                                                                                           (OML)

                                       Якщо Q £ P, то Q Ú (Q^Ù P)                      

виражає закон ортомодулярності (OML).

Ортодоповняльне відношення Q£ØP відрізняється від інтервалу сумісних Q£P тим, що утворює площину розв’язку несумісних Ø(Q£P), в якій визначаються, згідно Р1, не властивості і величини, а їх ймовірності. Тому це відношення не може служити підставою для визначення ортомо­дуляр­ності спостережуваних. Але проекція Х на ортодоповнення Q£(X£ØP) з врахуванням X^P пере­творює модулярність М на квазімодулярність

                                      Якщо Q^P, то Q=(QÚX)ÙØP                       (qzМ)

Слабку ортомодулярність Q £ P Þ P = Q Ú (Q^ Ù P) розглядав 1954р. японський дослідник Сасакі. Тоді ж він, досліджуючи двоїстість у відношенні дистрибутивних й проективних структур та залежність ортодоповняльних структур від аксіоми комутативності, визначив двоїсту до Q Ú (Q^Ù P) операцію Q Ù  (Q^Ú P), яку в квантовологічній літературі називають проекцією Сасакі, а відношення

                                             Q £ P Þ Q^ Ú (Q Ù P)

– імплікацією Сасакі і, також (тими, хто заперечує в QL операцію імплікації) стрілкою Сасакі. Синтетичне a priori І.Канта заявляє про себе, як бачимо, і в ортомодулярності.

 Закон ортомодулярності (OML) важливіший у квантовій логіці. На значення цього закону вказує, наприклад, така формальна обставина. Книга П.Птака й С.Пулманнової “Квантові логіки”, що вийшла у Братіславі 1989р., була перевидана в англійському перекладі у США 1991р. під назвою “Ортомодулярні структури як квантові логіки”.

Викладені вище принципи і закони квантової логіки відрізняються від аналогічних законів класичної логіки за формою і змістом. Зокрема, за формою законові тотожності Q=Q з KL відповідає в QL проекційна спектральна теорема розкладу одиниці q = åkqkQk +dQ(l). Двоїстим законам (не)суперечності Ø(QÙØQ) та tertium non datur (QÚØQ) в KL відповідають в QL закон L^ з ортодоповняльним QÙP = 0  й теорема QÚP = 1 в D(L^). Нарешті, закону подвійного заперечення Q=ØØQ  з KL в QL відповідає Q=ØP з L3, де P=D(Q) – в принципі еквівалентна детально повному запереченню еволюція дуалу Q.

За змістом, висловлювання і їх логічні зв’язки в логіці, репрезентуючись формально аналогічно в обох логіках, класичній - пропозиціональними змінними та квантовій – функціонально, відрізняються переставними в добутку змінними і не завжди переставними в композиції функціями цих змінних – проекторами, що веде, за принципом операторної відповідності, до змістовного корегування форми.

Класична логіка, закони мислення якої в середині 19 ст. дослідив алгебраїчно Дж.Буль, стала математичною і подається відтоді еквівалентно як булева алгебра. Некласична математична логіка і її розділ – квантова логіка мають, таким чином, небулеву алгебру.

В теорії структур булева алгебра зводиться до дистрибутивної з доповненнями структури. Звідси квантова логіка постає структурно недистрибутивною з некласичними доповненнями логікою. Щоб вирішити, які з недистрибутивних претендентів з некласичними доповненнями найкраще пасують до логіки квантової механіки, досить нагадати, що вектор стану Y в ортонормованому базисі утворює своїм модулем ïçYïç з модулями інших векторних станів заперечно двоїсту до дистрибутивності модулярність і, водночас, своєю ортонормованістю до інших вносить відмінне від класичного ортодоповнення, яке, поєднуючись з модулярністю в ортомодулярності не забуває, до того ж, про дистрибутивність. Отже, найкращі шанси стати алгеброю квантової логіки має алгебраїчно подана ортомодулярна з ортодоповненнями структура.

Ортодоповняльне відношення (QÙP)=0=(Q^P), яке далі позначатиметься як QÄR=0, зумовлює двоїсте йому QÅR=1 в алгебрі ефектів. Такою алгеброю Гаддер називає алгебраїчну систему {Р, Å, 0, 1} чумини Р з елементами 0 й 1 та частковою бінарною операцією Å такою, що вдовольняється умова: 1. Якщо xÅy визначене, то (xÅy)Åz визначене (як таке, що вводить z з двоїстості (xÄy)Äz – М.Р.) та xÅy=yÅz; 2. Якщо xÅy й (xÅy)Åz визначені, то yÅz й xÅ(yÅz) визначені  і при  цьому визначено xÅ(yÅz) = (xÅy)Åz; 3. Для будь-якого xєP існує x¢єP такий, що xÅx¢=1 (диз’юнктивно це є не що інше, як tertium non datur, двоїсте йому xÄx¢=0 засвідчує ортодоповняльність – М.Р.); 4. Якщо xÅ1 визначено, то х=0.

Алгебра ефектів відповідає на питання, як далеко можна зайти в квантовій логіці, користуючись операцією Å без залучення інших бінарних операцій, в тому числі двоїстої операції ортодоповняльності Ä, що розуміється. Отже, ортомодулярна з ортодоповненнями структура квантової логіки операцію Å виключає. Але в досліджених Сасакі дуалах цієї структури вона бере реванш. Правда, не без участі інших бінарних операцій.

                                 

 

Використана література

Березанский Ю.М. Проекционная спектральная теорема //УМН, 1984, 39:2, 3-52

Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. – К., 1988. – 680 с. (228-260: Проекционная спектральная теорема)

Бор Н. Атомная физика и человеческое познание. – М., 1961. - 151с.; Избр. научн. труды. – М., 1971. – т.2, див. с.413 про логічну важливість двощілинного експерименту

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. – М., 1963

Нейман Й., фон. Математические основы квантовой механики (1931/32). – М., 1964. – 367 с. (184-189: Проекционные операторы как высказывания)

Роженко М.М., Роженко Н.М. Квантова логіка. – К., 2000. – 312 с.

Черч А. Введение в математическую логику. 1 (1956). – М., 1960, с. 101.

Birkhoff G., Neumann J., von. The logic of quantum mechanics //Annal. Math., 1936, 37:4, 823-843

Gudder S. Examples, problems and result in effect algebras (1995) //Int. J. Theor. Phys., 1996, 35:11, 2365-2376

Maurin K. Duality (polarity) in mathematics, physics and philosophy //Repts  Math. Phys., 1988, 25:3, 357-388. See p.360-377

Pták P., Pulmannová S. Kvantove logiky. – Bratislava, 1989. - 222 c. See engl. tranl.: Orthomodular structures as quantum logics. – Dordrecht…1991

Sasaki U. Orthocomplemented lattices satisfying the exchange axiom //J. Sci. Hiroshima Univ., 1954, A17:3, 293-302 (see p.293)