МАТЕМАТИЧНІ НАУКОВІ ШКОЛИ КИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Академік НАН України та АН ВШ України М.О. ПЕРЕСТЮК

професор І.О. Парасюк

 

Стаття містить короткий огляд діяльності математичних наукових шкіл Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

 

У грудні 2010 року механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка урочисто відзначив своє 70-річчя. Виокремлення факультету як окремого структурного підрозділу в 1940 році ознаменувало собою початок нового історичного етапу  розвитку наукових математичних студій, що розпочалися разом із заснуванням Університету св. Володимира. Нетлінне інтелектуальне багатство, створене не одним поколінням талановитих учених,  увійшло до золотого фонду всієї вітчизняної математики.

Розвиток  “цариці наук” в університеті можна поділити на декілька періодів, кожен з яких визначається як особливостями тематики досліджень,  методологією наукового пошуку, так і, не в останню чергу,  яскравими особистостями – лідерами, що згуртовували навколо себе колективи науковців, які прийнято називати  науковими  школами. Наукова школа в сучасному розумінні — це неформальне об'єднання вчених-однодумців, які ведуть активну творчу роботу в певній галузі науки, постійно обговорюють одержані результати на наукових семінарах та конференціях, активно залучають до творчої роботи молодь.

Історія виникнення, становлення та розквіту кожної з таких шкіл, їхні вагомі досягнення в  кожному зі сформованих напрямів наукових розвідок достойні того, аби стати предметом  серйозного й детального аналізу.  У цій  статті ми маємо на меті лише в загальних рисах описати діяльність шкіл в галузі математики  Київського  університету.

Добре відомою світовій математичній спільноті є алгебраїчна школа,  засновником якої на початку ХХ століття виступив видатний математик і механік професор Д.О. Граве.  Його знаменитий семінар, на якому, зокрема, вивчалися проблеми теорії груп, теорії алгебраїчних чисел, відкрив шлях у науку таким відомими вченим, як М.П. Кравчук, О.Ю. Шмідт, М.Г. Чеботарьов, Б.М. Делоне, А.М. Островський, В.П. Вельмін, В. Тартаковський.

Д.О.Граве підтримував тісні творчі зв’язки зі своїми німецькими колегами. Регулярно їздили до Німеччини його учні. Тому досягнення Київської алгебраїчної школи були добре відомі. Деякі з них були вражаючими. Наприклад, О.Ю. Шмідт, будучи студентом 4 курсу написав підручник з теорії груп – перший у світовій літературі.

На жаль, революція, громадянська війна, важкі умови життя, тимчасова ліквідація університетів зруйнували Київську алгебраїчну школу. Її кращі представники виїхали до Росії і заснували свої наукові школи: Б.М. Делоне – в Ленінградському університеті, О.Ю. Шмідт – у Московському, М.Г. Чеботарьов – у Казанському. З алгебраїстів залишилися лише Д.О. Граве і М.П. Кравчук. Д.О. Граве переключився на іншу тематику (застосування математики в техніці), а М.П. Кравчук розширив спектр своїх наукових інтересів, додавши до алгебри теорію ймовірностей та диференціальні рівняння, і створив власну математичну школу. На жаль, цій школі не судилося розвинутись повністю, бо в 1938 році  академік Кравчук був заарештований за звинуваченням в українському буржуазному націоналізмі. Загинув талановитий учений у 1942 році на Колимі.

Своїм другим народженням алгебраїчна школа Київського університету багато в чому завдячує професору Л.А. Калужніну, який у 1956 році переїхав з  Берліна до Києва, принісши з собою традиції і математичну культуру кращих університетів Франції та Німеччини.  Серед вихованців цієї школи –  професори, доктори фізико-математичних наук В.В. Кириченко, Ю.А. Дрозд, В.І. Сущанський, О.Г. Завадський,  В.О. Устименко, В.В. Сергейчук, С.А. Овсієнко, А.П. Петравчук, В.М. Футорний, В.В. Бавула,  В.С. Мазорчук, В.В. Некрашевич, Я.В. Лавренюк, доценти В.А. Вишенський, В.В. Плахотник, О.Г. Ганюшкін, О.О. Безущак, Г.М. Кудрявцева, А.С. Олійник, В.М. Журавльов ...

Інтереси науковців алгебраїчної школи охоплюють широкий спектр проблем. У 60-і роки минулого століття основними напрямками досліджень були теорія груп та теорія груп перетворень, абстрактна теорія Галуа, топологічна алгебра, математична лінгвістика, теорія автоматів. З середини 60-х почалися дослідження з  теорії зображень.  У наступні роки в коло інтересів співробітників кафедри алгебри та математичної логіки включаються теорія груп підстановок, структурна теорія кілець,  теорія алгебр Лі.  Нині до основних напрямків додалися алгебраїчна комбінаторика, теорія напівгруп, алгебраїчна геометрія, алгебраїчна топологія, теорія автоматів, теорія динамічних систем і С*-алгебр, теорія алгебр Лі та їх зображень, теорія категорій, гомологічна алгебра,  теорія алгоритмів та комп’ютерна алгебра.

У зазначених напрямках науковцями алгебраїчної школи досягнуто значних успіхів. Так, у працях Л.А. Калужніна та В.І. Сущанського були отримані нові важливі результати стосовно будови вінцевих добутків груп, започатковано систематичне вивчення операцій на групах підстановок.  

До числа класичних результатів теорії кілець належить критерiй скiнченностi числа нерозкладних зображень для локальних порядкiв, одержаний Ю.А. Дроздом та В.В. Кириченком. В теорії зображень та в теорії кілець та модулів В.В. Кириченко створив новий науковий напрямок – застосування теорії графів в структурній теорії кілець. Уведені ним поняття сагайдака напівдосконалого кільця та первинного сагайдака асоціативного кільця дали змогу з’ясувати будову багатьох класів кілець. В останні роки В.В. Кириченко та його учні розробили теорію матриць показників, яка пов’язана з теорією однорідних ланцюгів Маркова, теорію Горенштейнових матриць та їх застосувань в теорії черепичних порядків та квазіфробеніусових кілець. Ці результати викладено у двох монографіях, виданих у 2004 і 2007 роках у видавництвах “Kluwer Academic Publishers” та “Springer”.

Визначним здобутком київських алгебраїстів став розвинутий ними метод "матричних задач", який поступово перетворився в один найефективних засобiв як обчислення, так i якiсного дослiдження зображень.  Одним найвiдомiших результатiв у цьому напрямi стала доведена Ю.А. Дроздом теорема про те,  що кожна скiнченновимiрна асоціативна алгебра є або ручною, або дикою. Ю.А. Дроздом, С.А. Овсiєнком, В.В. Сергiйчуком та їхнiми учнями розроблено теорiю накриттiв для матричних задач та скiнченновимiрних алгебр, теорiю матричних задач з iнволюцiєю, доведено теорему про збiг зображувальних типiв алгебри та її накриття тощо. Ю.А. Дрозд розробив техніку застосування матричних задач до класифікації модулів Коена-Маколея та векторних розшарувань, описав стабільні гомотопічні типи поліедрів малих розмірностей, разом з С.А. Овсієнком довів збіжність зображувальних типів локально скінченновимірної матричної задачі та її фактора за вільною дією групи без скруту.

В.О. Устименко здобув вагомі результати, пов’язані з перевіркою гіпотези Тітса-Кантора про максимальність лінійних груп над скінченними полями.  

В.І. Сущанський разом зі своїми учнями В.В. Некрашевичем, А.С. Олійником, Я.В. Лавренюком заклав основи теорії груп автоматних підстановок (в інших термінах — груп автоморфізмів кореневих дерев);  разом з І. Резніковим дослідив ріст напівгруп, що породжуються автоматами з двома станами над двоелементним алфавітом, знайшов мінімальний автомат проміжного росту; разом з О.О. Безущак описав групи ізометрій узагальнених метрик берівського типу.

Наукові результати О.Г. Ганюшкіна стосуються властивостей підпрямих  добутків груп, будови скінченних напівгруп перетворень та їх нільпотентних піднапівгруп.

В.І. Футорний розробив загальну теорiю узагальнених модулiв Верма як для класичних простих алгебр Лi, так i для аффiнних алгебр.  В.В. Бавула описав незвідні модулі над узагальненими алгебрами Вейля. Важливі результати в теорії зображень градуйованих алгебр Лі та їх узагальнень здобув  В.С. Мазорчук.  А.П. Петравчуком вивчено властивості нескінченновимірних алгебр Лі, які розкладаються в суму двох своїх нільпотентних підалгебр, побудовано приклад нерозв’язної алгебри Лі, який дає негативний розв’язок проблеми відомого німецького математика О. Кегеля.

У 2006 році захистили докторські дисертації вихованці школи алгебри С.А. Овсієнко (тема «Категорні методи в теорії зображень») та В.В. Некрашевич (тема «Самоподібні групи автоматів»), у 2009 – Я.В. Лавренюк (тема «Групи гомеоморфізмів канторових просторів»).

В наш час важливим напрямом діяльності алгебраїчної  школи  є комп'ютерна алгебра та її застосування до теорії зображень.

Теорія диференціальних рівнянь у Київському університеті почала розвиватися з середини ХІХ століття. Так, М.Є. Ващенко-Захарченко присвятив свою магістерську дисертацію (1862) застосуванню символічного числення до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь. Наприкінці ХІХ століття питання інтегрування лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними та диференціальних рівнянь механіки вивчалися професором В.П. Єрмаковим.  Ці дослідження були продовжені і суттєво розвинуті у період з 1914 по 1946 роки професором Г.В. Пфейффером.  У тридцятих роках ХХ століття наближені методи розв’язування диференціальних рівнянь розробляв академік М.П. Кравчук.

Понад 60 років функціонує започаткована М.М. Боголюбовим Київська школа нелінійної механіки,  диференціальних рівнянь та математичної фізики. Значною мірою саме завдяки цій школі Київ став відомим в усьому світі науковим математичним центром. М.М. Боголюбов завжди приділяв багато уваги роботі з творчою молоддю. І хоча його безпосередня викладацька, наукова та організаційна робота в Київському університеті тривала порівняно недовго – з 1936 по 1941 та з 1944 по 1949 рік – засіяна ним наукова нива виявилася напрочуд врожайною. Ідейне керівництво створеною ним школою Микола Миколайович продовжував і після свого переїзду до Москви. Славу цієї школи розвинули і примножили вчені зі світовим ім’ям: академік НАН України та РАН Ю.О. Митропольський – розробленням асимптотичних методів нелінійної механіки; академік НАН України О.С. Парасюк – працями з квантової теорії поля; академік НАН України А.М. Самойленко – фундаментальними результатами з теорії багаточастотних нелінійних коливань; академік НАН України О.М. Шарковський – відкриттям важливих властивостей динамічних систем;  академік НАН України Д.Я. Петрина – розвитком математичних методів статистичної фізики; академік НАН України М.О. Перестюк  розробленням теорії імпульсних систем диференціальних рівнянь; член-кореспондент НАН України В.І. Фущич – розвиненням методів симетрійного аналізу нелінійних рівнянь з частинними похідними.

Особливо інтенсивно теорія диференціальних рівнянь в Київському університеті почала розвиватись після створення у 1945 році на механіко-математичному факультеті кафедри інтегральних та  диференціальних рівнянь. Академік Й.З. Штокало розробляв асимтотичні та операційні методи дослідження лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Праці професора К.Я. Латишевої, а також її учня доцента М.І. Терещенка стосувались аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Математичні методи теорії нелінійних коливань розвивав академік Ю.О. Митропольський та доцент Б.І. Мосєєнков. Професор І.А. Павлюк досліджував асимптотичні властивості розв’язків неавтономних систем диференціальних рівнянь. Наукові інтереси професора Д.І. Мартинюка були головним чином пов’язані з вивченням різницевих рівнянь та диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом.

Новий етап розвитку школи диференціальних рівнянь  пов’язаний з іменами академіків НАН України А.М. Самойленка та  М.О. Перестюка.

Очоливши у 1973 році кафедру інтегральних і диференціальних рівнянь, А.М. Самойленко вивів наукову діяльність школи на якісно новий рівень. У 1976 році вийшла з друку його монографія “Численно-аналитические методы исследования периодических решений”, написана у співавторстві з М.Й. Ронто. У цій книзі було систематизовано результати з розробки, обґрунтування та реалізації ефективного методу побудови періодичних розв’язків істотно нелінійних систем, запропонованого А.М. Самойленком у 1965 році (тепер у науковій літературі цей метод називають чисельно-аналітичним методом Самойленка). Світове визнання здобули результати А.М. Самойленка зі створення теорії збурень інваріантних торів нелінійних динамічних систем на основі особисто запровадженого нового мате­матичного об’єкту – функції Гріна задачі про інваріантні тори. У 1987 році побачила світ його монографія "Элементы математической теории многочастотных колебаний: инва­риантные торы". Її переклад англійською мовою невдовзі вийшов у видавництві “Kluwer Academic Publishers”. У 1992 році це ж видавництво опублікувало монографію Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка та Д.І. Мартинюка Systems of evolution equations with periodic and quasiperiodic coefficients”.

У 1970-80-х роках А.М. Самойленко та М.О. Перестюк провели новаторські дослідження в теорії імпульсних систем. Ними були одержані результати пріоритетного характеру, що стосувались існування періодичних розв’язків нелінійних систем з імпульсною дією, обґрунтування методу усереднення та відшукання умов стійкості для таких систем. В цей час по суті відбувалося створення нового напрямку в теорії звичайних диференціальних рівнянь. У 1987 році вийшла в світ книга А.М. Самойленка та М.О. Перестюка "Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием". Це була одна з перших у світі монографій, присвячених систематичному викладу теорії імпульсних систем (у 1995 році було видано розширений варіант цієї книги англійською мовою у видавництві “World Scientific Publishing”).

До переліку вагомих досягнень школи з диференціальних рівнянь можна додати: розвинення методу функцій Гріна у теорії інваріантних множин стосовно його застосувань до рівнянь із запізненням,  різницевих, імпульсних, сингулярно збурених та стохастичних  рівнянь (професори А.М. Самойленко, Д.І. Мартинюк, М.О. Перестюк, О.М. Станжицький, доценти В.В. Іщук, М.Я. Свіщук, В.Я. Данілов, Г.В. Верьовкіна);  розвиток теорії імпульсних систем (професори А.М. Самойленко, М.О. Перестюк, В.Г. Самойленко, доцент О.С. Чернікова, наук. співробітник Ю.І. Самойленко); розроблення методів побудови асимптотичних зображень розв’язків неавтономних систем диференціальних рівнянь (доцент В.М. Бурим); розроблення теорії коізотропних інваріантних торів гамільтонових та локально гамільтонових систем (професор І.О. Парасюк, канд. фіз.-мат. наук Ю.В. Ловейкін); розвиток методів   дослідження стійкості та експоненціальної дихотомії стохастичних систем (професори А.М. Самойленко, О.М. Станжицький).

У 2008 році док­торську дисертацію "Глобальні атрактори неавтономних многозначних ди­намічних систем" захистив  доцент О.В. Капустян – учень М.О. Перестюка та члена-кореспондента НАН України В.С. Мельника.

Перспективні дослідження останніх років стосуються  диференціально-операторних включень та варіаційних нерівностей (канд. фіз.-мат. наук П.О. Касьянов, канд. фіз.-мат. наук Н.В. Задоянчук­), оптимального керування (професор О.В. Капустян, канд. фіз.-мат. наук  А.В. Сукретна).

Теорія рівнянь з частинними похідними та її застосування переважно розвивалися на кафедрі математичної фізики. Основна тематика наукових досліджень кафедри, починаючи з 50-х років минулого століття, була присвячена розробці чисельно-аналітичних методів розв’язання багатовимірних крайових задач, застосуванню теорії аналітичних та узагальнених аналітичних функцій в задачах механіки суцільного середовища, розвитку методів теорії фільтрації.  З цією тематикою була пов’язана наукова діяльність члена-кореспондента НАН України Г.М. Положія та представників створеної ним  наукової школи – академіка НАН України І.І. Ляшка, професорів А.А. Глущенка, О.О. Капшивого, Н.О. Вірченко, доцентів В.С. Чемериса, Н.О. Пахарєвої, А.М. Антонової.

Вихованці  факультету другої половини 1960-х – початку 1970-х  з великою вдячністю згадують сповнену ентузіазму діяльність Н.О. Вірченко (тоді доцента кафедри математичної фізики), спрямовану на розвиток наукової творчості студентів. Як куратор наукового товариства студентів, вона виступала незмінним ідейним натхненником та організатором студентських днів науки. В цих заходах брали участь молоді науковці не лише Київського університету, але й провідних університетів країни – Московського, Ленініградського, Новосибірського та ін.  На жаль, у 1974 році Н.О. Вірченко з незалежних від неї причин  змушена  була залишити механіко-математичний факультет і перейти працювати до Київського політехнічного інституту. Тут вона завершила роботу над докторською дисертацією “Нові типи парних інтегральних рівнянь зі спеціальними функціями”, яку успішно захистила в 1988 році.  Особливе місце в  діяльності Н.О. Вірченко посідають дослідження та популяризація наукової спадщини корифея вітчизняної математики академіка М. Кравчука, ім’я якого тривалий штучно замовчувалося з ідеологічних мотивів. Академік АН вищої школи проф. Вірченкоорганізатор тринадцяти Міжнародних наукових конференцій ім. акад. М.Кравчука (1992-2010).   

В працях професора В.М. Гончаренка було розроблено теорію стохастичних крайових задач теорії пружності, розвинуто варіаційні методи їх розв’язання. Роботи доцентів А.М. Кириченка, В.В. Попова, Б.П. Довгого, В.В. Личмана, Є.С. Вакала, А.В. Ловейкіна присвячені розробці аналітичних та чисельних методів аналізу різноматнітних задач математичної фізики. 

З кінця 90-х років тематика наукових досліджень кафедри математичної фізики збагатилась новими напрямками.  Професору В.Г. Самойленко, який очолює кафедру з  1998 року, належать важливі результати в дослідженні еволюційних систем на функціональних многовидах. Ним та Ю.І. Самойленко (Каплун) запропоновано алгоритм побудови асимптотичного двофазового солітоноподібного розв'язку сингулярно збуреного рівняння Кортевега-де Фріза зі змінними коефіцієнтами.

Наукові інтереси професора Т.А. Мельника пов’язані з теорією усереднення та теорією збурень спектральних задач, з асимптотичними  методами  розв’язання диференціальних задач, залежних від параметра. Дослідження доцента І.Б. Романенка стосуються теорії нелінійних параболічних крайових задач. Топологічні, варіаційні та чисельно-аналітичні методи розв’язання нелінійних крайових задач математичної фізики успішно розвивав доцент кафедри загальної математики Л.Д. Гординський.

Значного розвитку набула на механіко-математичному факультеті й теорія стохастичних диференціальних рівнянь. Визнаним фахівцем цього напрямку є професор Г.Л. Кулініч. Йому, зокрема, належать основоположні результати з розробки асимптотичної теорії стохастичних диференціальних рівнянь при вельми нерегулярній поведінці коефіцієнтів.  Питання  теорії стохастичних диференціальних рівнянь розробляють й учні Г.Л. Кулініча – доценти О.О. Борисенко, М.В. Грисенко, О.В. Ільченко, О.В. Перегуда, С.В. Кушніренко.  

Значні  результати в якісній теорії стохастичних диференціальних рівнянь одержав завідувач кафедри загальної математики професор  О.М. Станжицький (про деякі з них вже йшлося вище).  В останні 5 років на кафедрі інтенсивно проводилися дослідження динамічних систем, що знаходяться під  впливом випадкових факторів. Зокрема для  стохастичних систем  Іто отримані нові теореми типу принципу усереднення як на скінченних, так і нескінченних часових інтервалах.  Вивчалася також гранична поведінка лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем. Отримані умови асимптотичної еквівалентності (в різних ймовірнісних сенсах) стохастичної системи  системі звичайних диференціальних рівнянь. Завдяки цьому вдалося встановити умови коливності та дослідити поведінку нулів розв’язків лінійних  стохастичних  рівнянь  другого порядку.

Проводились також дослідження інваріантних множин стохастичних систем з броунівськими та пуасонівськими шумами. Було отримано необхідні та достатні умови інваріантності таких систем. Використовуючи дані результати, з’ясовано умови збіжності ланцюгів Маркова до дифузійного процесу з виродженою дифузійною матрицею. З погляду диференціальних рівнянь ці результати дають умови коректності задачі Коші для параболічних рівнянь з виродженою дифузією.

Не можна не відзначити того факту, що тематика, над якою працюють Г.Л. Кулініч та його учні, з одного боку, та О.М. Станжицький, з іншого, є своєрідним  містком, через який відбувається взаємодія двох потужних наукових шкіл: школи з диференціальних рівнянь та школи теорії ймовірностей.  

Остання з названих шкіл користується заслуженим авторитетом міжнародної математичної спільноти. Її заснування пов’язують з ім’ям академіка Б.В. Гнєденка. Важлива роль в становленні цієї школи на першому етапі її діяльності належить члену-кореспонденту АН УРСР  Й.І. Гіхману. Серед  вихованців школи відомі вчені – академіки НАН України В.С. Королюк, А.В. Скороход, В.С. Михалевич, Ю.М. Єрмольєв, члени-кореспонденти НАН України М.Й. Ядренко, М.І. Портенко, Т.П. Мар’янович, В.В. Анісімов, С.І. Ляшко, академік АПН України професор О.К. Закусило, професори А.Я. Дороговцев, Г.Л. Кулініч, Ю.В. Козаченко, Ю.Д. Попов, В.В. Булдигін, В.Л. Гірко, Д.С. Сільвестров, В.І. Масол, О.Г. Наконечний, І.К. Мацак, М.П. Моклячук, Н.М. Зінченко, М.М. Леоненко, Ю.С. Мішура, М.В. Карташов, О.Г. Кукуш, О.О. Курченко,  P.Є. Майборода, В.М. Радченко.

 Визначний внесок у розвиток школи зробив член-кореспондент НАН України М.Й. Ядренко, який у 1966–1999 роках очолював кафедру теорії ймовірностей та математичної статистики. Математичній спільноті він добре відомий своїми результатами в теорії випадкових полів, статистики випадкових процесів і полів, теорії ризику й актуарній математиці.  

            Впродовж останніх  кількох десятиріч дослідження науковців школи стосувалися широкого кола актуальних проблем теорії ймовірностей та математичної статистики. Ними вивчалися  граничні закони та статистика випадкових процесів і полів (професори Ю.С. Мішура, М.М. Леоненко, М.П. Моклячук, О.О. Курченко, Р.Є. Майборода,  доктор фіз.-мат. наук Н.М. Зінченко, доцент А.Я. Оленко), випадкові процеси і поля зі значеннями в функціональних просторах, статистичне моделювання (професор Ю.В. Козаченко), мартингальні методи, стохастичний аналіз, властивості гауссівських процесів (Ю.С. Мішура),  марковські процеси, теорія масового обслуговування (професор М.В. Карташов), оптимізаційні задачі, зокрема, в фінансовій математиці (Ю.С. Мішура, М.П. Моклячук),  асимптотичний аналіз статистичних оцінок  (О.Г. Кукуш),  загальний стохастичний аналіз, випадкові процеси в соціогуманітарних проблемах (доцент О.І. Пономаренко,  випадкові міри (доктор фіз.-мат. наук В.М. Радченко), інтерполяція випадкових процесів і полів (доцент В.Н. Нагорний),  стохастичні диференціальні рівняння (доцент О.Д. Борисенко), стохастичні динамічні системи (доцент М.О. Денисьєвський).  Зараз науковцями ймовірнісної школи інтенсивно досліджуються актуальні проблеми актуарної та фінансової математики. Наведемо перелік здобутих ними найважливіших результатів останніх років.

Професором Ю.С.Мішурою  побудовано стохастичне числення для дробового броунівського руху, споріднених процесів та полів, доведено існування та єдиність розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з дробовим броунівським полем, одержано дробову формулу Блека-Шоулза, доведено безарбітражність змішаних броунівських-дробово-броунівських моделей фінансових ринків. У 2008 році видавництвом Springer” було видано об’ємну монографію Ю.С. Мішури Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes”.

            Професором Ю.В. Козаченком досліджено випадкові процеси з просторів Орліча випадкових величин. Знайдено нові оцінки розподілів супремумів цих процесів та вивчена їх поведінка при прямуванні аргумента до нескінченності. Це дозволило знайти умови рівномірної збіжності з імовірністю одиниця  вейвлет розкладів випадкових процесів.

          Професор О.Г. Кукуш знайшов асимптотично оптимальну оцінку в загальній нелінійній моделі з похибками вимірювання і невідомими параметрами розподілу регресора; довів конзистентність структурованих оцінок повних найменших квадратів у лінійних векторних моделях з похибками у змінних за наявності структурних зв’язків; довів відсутність арбітражу у моделях перепродажу Європейського опціону.

       Професор М.П. Моклячук, дослідивши задачу оптимального оцінювання лінійних функціоналів  від векторних неперервних та дискретних стаціонарних процесів за даними спостережень процесів з адитивним шумом, вивів формули для обчислення величини середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної оцінки за відомими спектральними щільностями процесів. Якщо спектральні щільності невідомі, проте задані класи можливих  щільностей, знайдені мінімаксні (робастні) спектральні характеристики оптимальної лінійної оцінки функціоналів.

     Професором Р.Є. Майбородою побудовано рівняння для оцінювання медіани симетричного  розподілу по спостереженнях з домішкою. Доведено конзистентність та асимптотичну нормальність отриманих оцінок. Знайдено оцінюючі функції, які забезпечують мінімізацію коефіцієнта розсіювання оцінки. Розроблено техніку адаптивного оцінювання, яка дозволяє отримати оцінки,  близькі до оптимальних.           

Професор М.В. Карташов дослідив асимптотику неоднорідних процесів ризику.

            Доцент Г.М Шевченко розробив та обґрунтував методи наближеного розв’язування нескінченновимірних та упереджуючих стохастичних диференціальних рівнянь, а також стохастичних диференціальних рівнянь з дробовим броунівським рухом; отримав результати з наближеного оцінювання фінансових деривативів, оптимальної реалізації платіжних зобов’язань.

            Доктором фіз-мат. наук Н.М. Зінченко доведені граничні теореми типу сильного принципу інваріантності для суперпозиції випадкових процесів, випадкових сум при різних припущеннях стосовно доданків і їх залежності, що дозволило вивчати асимптотику процесів ризику.

Доцент О.І. Василик отримала умови рівномірної збіжності з ймовірністю одиниця вейвлет-розкладів j-субгаусcових випадкових процесів та умови Ліпшиця для таких процесів.

За останні 5 років вихованцями школи теорії ймовірностей було опубліковано 7 монографій, захищено три докторські дисертації:  у 2005 році І.К. Мацаком (на тему “Граничні теореми для випадкових елементів у банахових гратках”), у 2006 році О.О. Курченком (на тему «Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів»), а у 2007 році В.М. Радченком (на тему «Інтеграли за загальними випадковими мірами»).

 

Ось уже майже 170 років у Київському університеті триває розвиток такого класичного розділу математики, як геометрія.  Традиції геометричних студій були тут започатковані у XIX столітті професорами  С.С. Вижевським, М.А. Дяченком, А.А. Дяченком, М.Є. Ващенком-Захарченком. Особливо помітний слід на ниві геометрії залишив своєю науковою й педагогічною діяльністю  професор Б.Я. Букрєєв.  Одна з  перших його геометричних робіт стосувалась теорії еволют і побачила світ у 1886 році, а  одна з останніх – «О тригонометрии Лобачевского» – датована 1957 роком. У 40-х – 50-х роках ХХ століття Б.Я. Букрєєв основну увагу приділяв питанням проективної та неевклідової геометрії.

            На лекціях  Б.Я. Букреєва виховалось не одне покоління математиків і, зокрема, відомі геометри Київського університету:  професор О.С. Смогоржевський (розвивав теорію геометричних побудов у просторі Лобачевського), М.П. Хоменко (його дослідження стосувались топологічної та комбінаторної теорії графів), В.П. Білоусова, І.Г. Ільїн, В.І. Михайловський, Г.М. Зражевська вивчали питання теорії нескінченно малих згинань поверхонь, регулярних занурень метричних многовидів у евклідів простір; у цьому ж напрямку проводив дослідження і доценти П.Л. Симоконь та П.І. Кудрик.

            Значний внесок у розвиток геометрії в Київському університеті зробив  професор М.І. Кованцов. З 1960 по 1987 рік він очолював кафедру геометрії механіко-математичного факультету.  М.І. Кованцову належать важливі результати з неголономної геометрії, теорії просторів зі зв’язністю, теорії лінійчастих многовидів (комплексів, конгруенцій, поверхонь) у біаксіальному й симплектичному просторах. 

            Завдяки залученню до педагогічної й наукової роботи на механіко-математичному факультеті провідного українського тополога члена-кореспондента НАН України В.В. Шарка   на кафедрі геометрії розвинулись дослідження проблем сучасної  топології. Учень В.В. Шарка  О.О. Пришляк (нині професор) одержав низку глибоких результатів у теорії Морса, розв’язав  важливі задачі топологічної класифікації векторних полів на маловимірних многовидах. У 2005 році він захистив докторську дисертацію на тему «Топологічні властивості функцій і векторних полів на маловимірних многовидах».    

Актуальні питання теорії функцій та функціонального аналізу розробляють переважно учені  кафедри математичного аналізу.  Цей напрямок наукової діяльності в Київському університеті формувався під впливом таких відомих фахівців, як професор Г.Є. Шилов (очолював кафедру математичного аналізу з 1950 по 1954 рік),  член-кореспондент АН УРСР В.К. Дзядик (керував кафедрою з 1962 по 1968 рік), академік НАН України Ю.М. Березанський, професор А.Я. Дороговцев (очолював кафедру математичного аналізу з 1973 по 1998 рік).

Основний напрямок наукових досліджень В.К. Дзядика – теорію апроксимацій – тривалий час розвивали на  кафедрі математичного аналізу його учні – доценти Г.А. Алібеков, В.О. Панасович та Г.С. Смірнов.  Діяльність у цьому напрямку  суттєво активізувалася після того, як зазначену кафедру очолив професор І.О. Шевчук. Йому належить розробка теорії формозберігаючого наближення монотонних та кусково-монотонних функцій, вагомі результати в теорії апроксимації функцій комплексної змінної та теорії граничних задач. Над питаннями теорії наближень працюють також доценти М.О. Назаренко,  Т.О. Петрова, О.М. Нестеренко.

У галузі функціонального аналізу на кафедрі вели науковий пошук учні академіка Ю.М. Березанського – доцент Ю.Г. Кондратьєв (зараз – доктор фізико-математичних наук, професор Белефельдського університету) та доцент Г.Ф. Ус. Ще один його учень доцент О.Ю. Константінов у даний час інтенсивно досліджує проблеми спектральної теорії диференціальних операторів та теорії розсіяння. Цікаві результати, які стосуються зображень *-алгебр необмеженими операторами, одержав доцент кафедри загальної математики В.С. Тищенко. 

З ініціативи професор А.Я. Дороговцева в кінці 80-х років на кафедрі математичного аналізу розгорнулися дослідження диференціальних, різницевих та диференціально-рівницевих рівнянь у банаховому просторі. Зараз над цією тематикою активно працюють професор М.Ф. Городній (у 2004 році він  захистив докторську дисертацію на тему “Властивості розв’язків різницевих і  диференціальних рівнянь та їх стохастичних аналогів у банаховому просторі”)  та доцент А.В. Чайковський.

Результати досліджень  математиків  Київського університету відзначені високими урядовими нагородами. Зокрема, лауреатами Державної премії України в галузі науки і техніки стали: у 1985 році – А.М. Самойленко, Б.І. Мосєєнков  та Д.І. Мартинюк за цикл робіт "Методи дослідження періодичних і квазіперіодичних коливань"; у 1996 році –  М.О. Перестюк у складі авторського колективу за цикл праць “Нові математичні методі в нелінійному аналізі”; у 2003 році – М.Й. Ядренко  і професор Ю.В. Козаченко в складі авторського колективу за цикл монографій “Аналітичні  та  асимптотичні  методи дослідження стохастичних систем та їх застосування”; у 2007 році Ю.А. Дрозд та В.В. Кириченко у складі колективу авторів за цикл робіт «Зображення алгебраїчних структур і матричні задачі в лінійних та гільбертових просторах».

Наявність молоді, постійне поповнення молоддю — необхідна умова існування будь-якої школи. Тому найбільш життєвими є наукові школи, які функціонують на факультетах університетів.  Яскравим підтвердженням цієї тези є механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Ось лише невеликий перелік здобутків молодих учених-математиків останнього часу: лауреатами Премії Президента України для молодих вчених (так званої “малої Державної премії”) стали С. Попович (2004), О. Капустян та  Ю. Самойленко (2005); у  2004 році Премією НАН України для студентів нагороджена А. Сукретна; Премію НАН України для молодих учених у 2005 році  здобув П. Касьянов; у 2008 році він був повторно удостоєний цієї нагороди разом з Г. Шевченком.    Я. Лавренюк (2009)  та А. Бондаренко (2010) стали  переможцями конкурсу  Наукового Товариства ім. Шевченка в Америці та Фундації Україна-США для молодих математиків в Україні.

Студенти механіко-математичного факультету щорічно стають призерами різноманітних математичних змагань. Так, на 2-й Міжнародній Південно-Східній Європейській математичній олімпіаді "SEEMOUS-2008" для студентів університетів 1-2 курсів, що проходила 5-10 березня 2008 р. в Афінах (Греція), студенти факультету вибороли 3 золоті (І.Фещенко, І.Юрченко, Д.Радченко), 4 срібні (А.Арман, М.Танцюра, А.Старченко, В.Медвідь) та 1 бронзову медаль (С.Ніколаєнко), а команда Київського університету посіла перше місце. Такий самий високий результат було показано на 16-ій Міжнародній студентській математичній олімпіаді (International Mathematics Competition for University Students - IMC) для команд університетів, яка проходила  25-30 липня 2009 року в Будапешті (Угорщина) і в якій взяли участь 347 студентів з 98 університетів 37 країн світу.  При цьому наші студенти вибороли 5 перших місць (І. Фещенко, С. Слободянюк, Л. Тимошкевич, Д. Радченко, Ю. Шишацький) та 3 других (О. Кравець, І. Лівінський, М. Танцюра). Чергового видатного успіху команда Університету досягла на 17-тій Міжнародній студентській математичній олімпіаді у 2010 році, посівши перше командне місце і випередивши сильні команди Московського та Санкт-Петербурзького університетів (Іван Фещенко – гран-прі  і 2-ге загальне місце,  Данило Радченко  – гран-прі і 3-тє загальне, Олександр Шамов 1-ше місце  (7-е загальне)).

Успіхи наших молодих математиків, їхній творчий запал, інтерес до науки вселяє надію, що  традиції та досягнення наукових шкіл Київського університету будуть збережені та примножені. Водночас не може не викликати занепокоєння явище, про яке чимало говориться і яке поступово перетворюється на норму:  молоді талановиті науковці, провчившись в аспірантурі,  захистивши дисертацію та налагодивши творчі контакти зі своїми колегами з інших країн,  виїжджають працювати за кордон.   Причина цього явища, як правило, має суто матеріальну основу  – відсутність перспектив отримати житло, невідповідність рівня заробітної плати європейським чи американським стандартам тощо. 

Дуже хочеться сподіватися, що Указ Президента “Про заходи щодо підвищення статусу Київського національного університету імені Тараса Шевченка” (№ 412/2008) стане відправним пунктом подолання зазначених вище проблемних моментів, а його виконання виведе наукову діяльність Тарасового університету на якісно новий рівень.