Рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова

РІВНЯННЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА

С.Д. Івасишен, академік АН ВШ України

Для одного класу ультрапараболічних рівнянь описані властивості фундаментального розв’язку, який можна трактувати як густину перехідних імовірностей відповідних марковських процесів дифузійного типу.

Вважатимемо, що -вимірна просторова змінна складається з -вимірної змінної , -вимірної змінної і -вимірної змінної , де , і – такі натуральні числа, що і . Нехай – задане додатне число і – шар у просторі товщини .

Розглянемо лінійне рівняння з частинними похідними і дійснозначними коефіцієнтами вигляду

, , (1)

при таких припущеннях:

1) існує така стала , що для будь-яких і справджується нерівність

;

2) коефіцієнти , і в обмежені та гельдерові за , у спеціальному сенсі, вказаному в [1];

3) існують обмежені та гельдерові за , (у такому ж, як в умові 2, сенсі) в похідні і .

Для рівняння (1) існує спряжене рівняння, яке має такий вигляд:

, . (2)

Рівняння (1) і (2) належать до класу ультрапараболічних рівнянь і зустрічаються при дослідженні математичних моделей різних фізичних явищ у так званому дифузійному наближенні. Такі моделі в багатьох важливих випадках (наприклад, при вивченні броунівського руху) досить адекватно і відносно просто описують реальні явища. Звичайно параболічні рівняння другого порядку, які на початку минулого століття почали систематично застосовуватися до вивчення фізичних явищ, називаються рівняннями Фоккера-Планка. Досить часто ці рівняння визначають еволюцію марковського випадкового процесу , який функціонує в неперервному часі. Саме при вивченні моделей броунівського руху А.М. Колмогоров почав вивчати марковські випадкові процеси, еволюція яких визначається рівняннями типу (1) і (2). Тому природно їх називати рівняннями Фоккера-Планка-Колмогорова.

Об’єкт нашого дослідження – це фундаментальний розв’язок (ФР) , , , рівняння (1). Його природно трактувати як густину перехідних імовірностей марковського випадкового процесу дифузійного типу зі значеннями в фазовому просторі з трьома різними групами фазових координат , і .

У монографії [1] за умов 1 і 2 доведено існування ФР рівняння (1), для якого справджуються оцінки

, , , (3)

де і – додатні сталі; – -вимірний мультиіндекс, ;

, , ,

, , .

Якщо додатково виконується умова 3, то існує ФР рівняння (2).

Опишемо властивості функції . При цьому використовуватимемо таку формулу Гріна-Остроградського:

, (4)

де , і – гладкі функції такі, що їх добуток, а також добутки похідних досить швидко прямують до нуля при .

Властивість 1. Є правильною рівність

, , . (5)

ФР , для якого справджується ця рівність, називається нормальним ФР (НФР).

Доведення. Скористаємось формулою (4). Візьмемо в ній , , і де – досить мале додатне число. Тоді одержимо рівність

з якої після переходу до границі при випливає рівність (5). ►

Властивість 2. Функція є розв’язком функціонального рівняння

, . (6)

Доведення. Так само, як при доведенні властивості 1, одержуємо рівність

. (7)

Рівність (6) одержується, якщо в (7) перейти до границі при і скористатися формулою (5). ►

Рівняння (6) називається рівнянням Колмогорова-Чепмена. Воно містить важливу інформацію про те, що випадковий процес, який розглядається, є марковським (процесом без післядії). Рівняння (6) можна покласти в основу означення і дослідження розглядуваного випадкового процесу.

Властивість 3. Для рівняння (1) існує тільки один НФР, для якого справджуються оцінки (3).

Доведення. Нехай і – два НФР рівняння (1), для яких є правильними оцінки (3). Скористаємось формулою (4), поклавши в ній , . Тоді одержимо рівність

Оскільки вибір і з інтервалу довільний, то остання рівність означає, що функція

, , .

не залежить від . Позначимо цю функцію через . Отже,

Спрямувавши в цій рівності спочатку до , а потім до , одержимо, що

, . ►

Дифузійний процес, який вивчається, характеризується матрицею дифузії , , і вектором знесення , , елементами яких є відповідні коефіцієнти рівняння (1). Виразимо ці важливі характеристики через густину перехідних імовірностей випадкового процесу, тобто через ФР .

Властивість 4. Правильними є такі формули:

Доведення. Його досить провести для першої координати вектора та елемента матриці . Установимо формули

, (8)

. (9)

Доведення ґрунтується на формулі (4). Покладемо в цій формулі і , тоді одержимо рівність

. (10)

Далі в (10) візьмемо , , перейдемо до границі при , результат поділимо на і прийдемо до рівності

. (11)

Рівність (8) безпосередньо випливає з (11), оскільки границя при лівої частини дорівнює на підставі властивостей ФР та теореми про середнє значення для інтегралів, а другий доданок правої частини рівності (11) прямує до нуля на підставі припущень щодо функції .

Щоб довести рівність (9), у формулі (4) покладемо і . Тоді ця формула набуде вигляду

Далі повторюються міркування попереднього випадку та одержується рівність

з якої за допомогою міркувань, аналогічних до попередніх, випливає формула (9). ►

Аналогічно виводиться зображення через функцію функції , яка інтерпретується як коефіцієнт інтенсивності лінійних джерел дифузійного процесу, еволюція якого описується рівнянням Фоккера-Планка-Колмогорова (1).

Властивість 5. Правильною є формула

Властивість 6. Справджується нерівність

, , .

Доведення цієї властивості істотно використовує установлений в [2,3] принцип максимуму для розв’язків рівнянь типу (1). ►

Література

1. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type.– Basel-Boston-Berlin: Birkhäauser Verlag, 2004. – 390p. – (Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 152).

2. Малицька Г.П. Про принцип максимуму для ультрапараболічних рівнянь // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, №2. – С.195–201.

3. Дронь В.С. Про принцип максимуму для вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. – К.; Ін-т математики НАН України, 1996. – Вип.12. – С.272–277.